python机器学习笔记（5）—— SVM支持向量机
0x00 什么是SVM？
SVM即Support Vector Machine，支持向量机，在一般情况下是一个二分类分类器。相比Logistic回归，SVM不是向某一函数作拟合，而是直接生成一个分割超平面，并且效率更高。只要在训练数据中找到了支持向量，就可以利用这些支持向量进行分类，这样同时也减少了数据量。
- 优点：泛化错误率低，计算开销不大，结果易解释。
- 缺点：对参数调节和核函数的选择敏感，原始分类器不加修改仅适用于处理二类问题。
- 适用数据范围：数值型和标量型。
0x01 分类器算法的推导
首先我们回想到Logistic回归，同样是对两类数据进行分类，在图中画出两类数据的分界线。我们设分界的超平面（现在是直线）的公式为
，我们很容易得到某个点到直线距离的函数间隔
，几何间隔
。
现在我们考虑一个问题，如何让所有点中，离这个分分割面的距离最近的点，里这个分割面最远。这个句话听起来有点绕，但它就是这个意思。也就是说，我们考虑这样的情况：
对于这种情况求解是非常困难的，所以我们采用一种变换方式，将它变成我们易于求解形式。首先我们假设所有支持向量（即离分割超平面最近的点）到分割超平面的距离为1，那么所有非支持向量到分割超平面的距离就大于1。然后我们考虑到
等价于求解
。那么，我们可以得到这样的式子：
其中s.t.表示限制条件。然后就可以利用拉格朗日对偶法求最大值，具体推导公式就不在这里细写，直接列出其中推导出有用的公式和需要求解的公式:
其中上面那个求最大值的就是我们需要求得目标函数，通过这个函数我们求得阿尔法，从而求出w和b，得到了最后的结果。这里最后加上b的求法。思想是在超平面上方和下方的支持向量到超平面的距离一致。
0x02 SMO高效算法
回到上面用拉格朗日对偶推导出来的公式：
我们可以发现，如果我们一次迭代中只改变一个阿尔法的值，那么上面的等式会不满足约束条件，那么我们考虑一次同时改变两个阿尔法的值，保证它们的和为一个常数.同时我们为了允许存在少数分类错误的点存在空间中，增加一个松弛变量C，使阿尔法小于C。那么，我们可以推算出他们的范围：
当它们异号时
当它们同号时
然后我们设一条公式
结合这条公式，并且将a1用a2来表示带入求最大值的式子中，可以推导出这样的一条公式
其中
。特殊情况下eta可能不为正，处理起来非常麻烦。不过一般不会出现，这里不做讨论。
那么b应该怎么求呢。
其中界内指的就是在0与C之间。
上述内容参考支持向量机（五）SMO算法.
0x03 核函数
大部分的数据往往是线性不可分的，这种时候就需要使用核函数将数据从低维度映射到高维度。比如对于
我们可以通过做乘积的方式增加它的维度
比如上面的例子，数据就从二维变成了五维。
常用的核函数是这个，高斯核函数
0x04 代码实现
结合上面这些公式看代码就相对好懂了。
def kernelTrans(X, A, kTup): #calc the kernel or transform data to a higher dimensional space
m,n = shape(X)
K = mat(zeros((m,1)))
if kTup[0]=='lin': K = X * A.T #linear kernel
elif kTup[0]=='rbf':
for j in range(m):
deltaRow = X[j,:] - A
K[j] = deltaRow*deltaRow.T
K = exp(K/(-1*kTup[1]**2)) #divide in NumPy is element-wise not matrix like Matlab
else: raise NameError('Houston We Have a Problem -- \
That Kernel is not recognized')
return K
class optStruct:
def __init__(self,dataMatIn, classLabels, C, toler, kTup): # Initialize the structure with the parameters
self.X = dataMatIn
self.labelMat = classLabels
self.C = C
self.tol = toler
self.m = shape(dataMatIn)[0]
self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))
self.b = 0
self.eCache = mat(zeros((self.m,2))) #first column is valid flag
self.K = mat(zeros((self.m,self.m)))
for i in range(self.m):
self.K[:,i] = kernelTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)
def calcEk(oS, k):
fXk = float(multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
return Ek
def selectJ(i, oS, Ei): #this is the second choice -heurstic, and calcs Ej
maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0
oS.eCache[i] = [1,Ei] #set valid #choose the alpha that gives the maximum delta E
validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]
if (len(validEcacheList)) > 1:
for k in validEcacheList: #loop through valid Ecache values and find the one that maximizes delta E
if k == i: continue #don't calc for i, waste of time
Ek = calcEk(oS, k)
deltaE = abs(Ei - Ek)
if (deltaE > maxDeltaE):
maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek
return maxK, Ej
else: #in this case (first time around) we don't have any valid eCache values
j = selectJrand(i, oS.m)
Ej = calcEk(oS, j)
return j, Ej
def updateEk(oS, k):#after any alpha has changed update the new value in the cache
Ek = calcEk(oS, k)
oS.eCache[k] = [1,Ek]
def innerL(i, oS):
Ei = calcEk(oS, i)
if ((oS.labelMat[i]*Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i]*Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
j,Ej = selectJ(i, oS, Ei) #this has been changed from selectJrand
alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
else:
L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
if L==H: print "L==H"; return 0
eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j] #changed for kernel
if eta >= 0: print "eta>=0"; return 0
oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
updateEk(oS, j) #added this for the Ecache
if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print "j not moving enough"; return 0
oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])#update i by the same amount as j
updateEk(oS, i) #added this for the Ecache #the update is in the oppostie direction
b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
return 1
else: return 0
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter,kTup=('lin', 0)): #full Platt SMO
oS = optStruct(mat(dataMatIn),mat(classLabels).transpose(),C,toler, kTup)
iter = 0
entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
alphaPairsChanged = 0
if entireSet: #go over all
for i in range(oS.m):
alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
print "fullSet, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)
iter += 1
else:#go over non-bound (railed) alphas
nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
for i in nonBoundIs:
alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
print "non-bound, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged)
iter += 1
if entireSet: entireSet = False #toggle entire set loop
elif (alphaPairsChanged == 0): entireSet = True
print "iteration number: %d" % iter
return oS.b,oS.alphas